* Jesús M. Landart Ercilla es ingeniero proyectista de redes telefónicas. Licenciado en Ciencias Matemáticas por la Universidad Nacional de Educación a Distancia. Editor de la bitácora matemática Tío Petros.

El papel del azar y el límite de la cognoscibilidad en la matemática puestos al descubierto por Gregory Chaitin. Si algunos números son 'malos', la omega de Chaitin es el demonio en persona.
Todos conocemos la famosa frase de Albert Einstein 'Dios no juega a los dados'. A Einstein no le gustaba el azar, a pesar de ser uno de los padres de la mecánica cuántica. Creía en la existencia de variables ocultas, que es otra forma de decir que lo que parece azar no es sino falta de información por nuestra parte.
En el fondo la cuestión es muy poco científica: en función de nuestras apetencias, criterios, opiniones e ideología nos gusta o no nos gusta que el azar y el caos estén formando parte de la sustancia misma de las cosas. Pero una de las pocas propiedades del Universo de la que podemos estar seguros es la nula atención que presta a nuestros gustos particulares.
En una visión superficial del asunto, alguien podría decir que la matemática acepta desde hace mucho tiempo el azar; al fin y al cabo, tenemos la teoría de probabilidades aceptada y perfectamente establecida. Pero la cosa no es tan sencilla. La teoría de la probabilidad actual parte de la axiomatización de Kolmogorov, auxiliada por la teoría de la medida, y es un edificio muy bien construido; eso es cierto.
Sin embargo, nada dice del origen del azar ni de la posibilidad de que tal azar sea desconocimiento por nuestra parte, existencia de variables ocultas o, que por el contrario, sea parte integrante de la estructura de las cosas. No es la teoría de la probabilidad una teoría del mundo, sino una teoría matemática que parte del mito del azar sin cuestionar en absoluto su naturaleza.
El origen de este asunto está en la obra 'Entscheidungsproblem' del matemático de origen ruso David Hilbert. Cuando Hilbert puso los deberes para el nuevo siglo XX que empezaba, una de la cuestiones planteadas fue la siguiente: ¿Todo problema matemático tiene una solución algorítmica? ¿a todo problema especificable formalmente, se le podrá dar una solución mecánica en una cantidad finita de pasos? En definitiva, ¿hay un método definido que pueda aplicarse a cualquier sentencia matemática y que nos diga si esa sentencia es cierta o no?.
En 1931, el matemático austriaco-alemán Kurt Gödel dio un paso fundamental para dar una respuesta, en sentido negativo, al demostrar el celebrado Teorema de Incompletitud. Y fue Alan Turing en 1936 quien consiguió dar la respuesta definitiva a la pregunta de Hilbert: No todo problema matemático tiene solución algorítmica. Para demostrarlo inventó la noción matemática de computadora de propósito general.
Básicamente, Turing definió las bases de las computadoras modernas y planteó un problema sobre ellas, llegando a la conclusión de que no hay ningún algoritmo que lo resuelva. Es el problema de la detención ('Halting problem'); el problema de saber si un programa 'se cuelga' cuando corre en la computadora. Turing demostró que el problema de la detención es indecidible, es decir, demostró que había problemas que una máquina no podía resolver.
Así pues, debemos hacer un alto para recordar una verdad que muchas veces se olvida: las computadoras se idearon para responder a una importante pregunta filosófica.
Un matemático norteamericano de ascendencia argentina, Gregory Chaitin, pensó en este asunto en términos de azar.
¿Dónde entra el azar en todo esto? De la imposibilidad dada por el teorema de Turing de resolver el problema de la detención, pasamos a preguntarnos por la probabilidad de parada de un algoritmo. Cada algoritmo es en definitiva una lista finita de ceros y unos. Con unos programas bien constituidos, la máquina se detendrá convenientemente, y con otros se quedará colgada. Supongamos que escribimos un programa a base de n ceros y unos tirando una moneda al aire n veces, existen 2 n programas posibles.
Por lo tanto, la probabilidad de obtener un programa concreto de n bits es 2-n. De todos estos programas, una parte muy pequeña acabarán en la instrucción 'Fin de programa' correctamente. Sea A n el número de programas correctos desde este punto de vista, de n bits. La probabilidad de generar aleatoriamente un programa de n bits que detenga la máquina será: Pn= A n· 2 -n. Y si extendemos a todos los programas posibles finitos obtenemos la constante Omega de Chaitin.
En matemáticas, las constantes fundamentales son pocas. Tenemos el número e, tenemos pi, la constante de Euler, la de Feigenbaum y un puñado más de ellas. Ahora tenemos la constante de Chaitin.

'Maldad' de los números

Existe toda una jerarquía de números en cuanto a la 'maldad' que exhiben (permítanme el antropomorfismo). Algunos números exhiben poca maldad, como los enteros. Los irracionales son bastante traviesos, y entre ellos, los trascendentes son los peores. Pues bien: la omega de Chaitin es el demonio en persona.
La omega de Chaitin nos introducirá en el caos, nos hará volver a considerar el papel del azar en el centro mismo de la matemática, y terminaremos afirmando que si Dios no juega a los dados es porque está muy ocupado con juegos bastante más rebuscados.
Una de las características más importantes de este número es que es algorítmicamente aleatorio. Esto es decir bastante más de lo que parece a simple vista. Supone que no puede comprimirse en un programa más breve que él mismo.
Un número irracional como pi (π), a pesar de tener infinitos decimales no periódicos, puede ser generado correctamente hasta el decimal enésimo por un programa de muy pocas líneas que, ejecutado en un ordenador, nos vaya escupiendo los sucesivos decimales. Por lo tanto es comprimible, y no es algorítmicamente aleatorio.

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